Exercícios de Aritmética resolvidos:
https://drive.google.com/open?id=0B0Glcmy-7Z4vRGp6V19qQ3M5bFk&authuser=0

Estou cursando a disciplina de Libras neste semestre e está sendo muito interessante conhecer um mundo que está tão perto de todos nós e não nos damos conta de quanto podemos aprender com pessoas tão especiais. Abaixo está uma atividade proposta sobre a Legislação para LIBRAS feita por mim e sempre que puder colocarei algo referente a este tema, já que como professor tenho que estar preparado para para meus alunos.

Universidade Federal da Paraíba - UFPB VIRTUAL

Licenciatura em Matemática a Distância

Disciplina: Libras – Linguagem Brasileira de Sinais

Professor: Everton de Lima

Tutora a distância: Rosenice de Lima Gabriel

Aluno: Luiz Carlos Moreno - Matrícula: 91211260

Data: 30/08/2014

Texto reflexivo sobre a Legislação vigente da LIBRAS e  professor de Matemática

Através do decreto nº 5626 de 22 de Dezembro de 2005 é regulamentada a lei de LIBRAS – Lei 10436/02, legislação esta que define ações com o objetivo de promover a inclusão social e reconhece a LIBRAS como língua dos surdos brasileiros. 

A Legislação a respeito da linguagem de sinais (LIBRAS) se faz necessária para o processo de inclusão social e escolar, mesmo sendo uma questão que ainda precisa de mais atenção, não só por parte do poder público, mas também de toda a sociedade.

A Legislação vem com isso procurar fazer com que os direitos das pessoas com deficiência auditiva, sejam acatados, procurando não só incluir essas pessoas nas diversas áreas sociais como também poder promover meios para que mudanças sejam realizadas de forma concreta e eficaz.

Das disposições da Lei 10436/02, temos no Art. 1° o primeiro passo para a inclusão social das pessoas surdas, que é o reconhecimento da Língua Brasileira de Sinais (LIBRAS), como meio legal de comunicação e expressão, tendo como parágrafo único que LIBRAS constituem um sistema linguístico de transmissão de ideias e fatos, oriundos de comunidades de pessoas surdas do Brasil.

Nos artigos subsequentes 2°, 3° e 4° é garantido por parte do poder público e empresas concessionárias de serviços públicos, formas institucionalizadas de apoiar o uso e a difusão da LIBRAS, como meio de comunicação objetiva e de utilização corrente das comunidades surdas do Brasil, bem como à assistência a saúde com tratamento adequado aos portadores de deficiência auditiva e que o sistema educacional, seja ele Federal, Estadual, Municipal, assim como o Distrito Federal, garantir a inclusão nos cursos de formação de Educação Especial, de Fonoaudiologia e de Magistério, em seus níveis médio e superior e do ensino da Língua Brasileira de Sinais como parte integrante dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN).

No referido decreto ainda é disposto a inserção da LIBRAS como disciplina curricular obrigatória nos cursos de formação de professores bem como cursos de graduação em LIBRAS.

No que diz respeito a minha responsabilidade em ser um instrumento de inclusão escolar, há as dificuldades provocadas pelo próprio sistema e estando ainda no processo de formação é importante ter a oportunidade de conhecer e aprender sobre a Linguagem Brasileira de Sinais e diante da nossa realidade na Educação sinto-me privilegiado, mas ao mesmo tempo responsável no processo de inclusão escolar e desde já procurar estar preparado para ser um educador para todos, procurando atender as necessidades dos alunos a mim confiados.

Como professor de Matemática é meu dever procurar uma formação sólida para qualquer situação, seja com pessoas surdas ou com pessoas com outro tipo de deficiência e mesmo que o trabalho seja feito em conjunto com um interprete, o conhecimento de minha parte irá ser muito importante na formação dos alunos.

Análise Combinatória

Análise combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias. Os tipos mais conhecidos são (tomando-se conjuntos de m elementos):

---

Arranjos:

São agrupamentos formados por p elementos, de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Há duas formas principais:

Simples:

Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos; Ex.: considerando as letras A,B,C,D, quantos pares de letras distintas pode-se formar? Considerando que AB é diferente de BA, então tem-se um arranjo. m = 4 p = 2 AS(m,p) = m! / (m-p)! AS(4,2) = 4! / (4-2)! = 12 {AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Com Repetição:

Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos; Ex.: considerando as letras A,B,C,D, quantos pares de letras (não necessariamente distintas) pode-se formar? Considerando que AB é diferente de BA, então tem-se um arranjo. m = 4 p = 2 AR(m,p) = mp AR(4,2) = 42 = 16 {AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Permutações:

São agrupamentos considerando os m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre si pela ordem. Ex.: considerando as letras A,B,C, quantas combinações distintas pode-se formar? m = 3 P(m) = m! P(3) = 3! = 6 {ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Combinações:

São agrupamentos formados por p elementos, de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie. Há duas formas principais:

Simples:

Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos; Ex.: considerando as letras A,B,C,D, quantos pares de letras distintas pode-se formar? Considerando que AB e BA são o mesmo par, então tem-se uma combinação. m = 4 p = 2 CS(m,p) = m! / ((m-p)! * p!) CS(4,2) = 4! / (2! * 2!) = 6 {AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Com Repetição:

Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes; Ex.: considerando as letras A,B,C,D, quantos pares de letras (não necessariamente distintas) pode-se formar? Considerando que AB e BA são o mesmo par, então tem-se uma combinação. m = 4 p = 2 CR(m,p) = CS(m+p-1,p) CR(4,2) = CS(5,2) = 5! / (3! * 2!) = 10 {AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

Gottfried Wilhelm von Leibniz

 Primeiro de Julho de 1646, em Leipzig, Saxônia (atual Alemanha)

 14 de novembro de 1716, em Hannover, Hanover (atual Alemanha)

Gottfried Leibniz era filho de Friedrich Leibniz, professor de filosofia em Leipzig. Sua mãe chamava-se Catharina Schmuck, filha de uma advogado e terceira esposa de Friedrich. Leibniz foi criado praticamente pela mãe, pois seu pai morreu quando ainda tinha 6 anos de idade.

Aos 7 anos, Leibniz entrou na escola Nicolai, em Leipzig. Embora Latim tenha sido uma das matérias que lhe foi ensinada na escola, Leibniz foi autodidata em Latim avançado e Grego até os 12 anos. Sua motivação maior parece ter sido a vontade de ler os livros do pai. Conforme progredia nos estudos, foram-lhe ensinadas também lógica Aristotélica e teoria de categorização do conhecimento. Leibniz mostrava-se claramente insatisfeito com o sistema de Aristóteles e começou a desenvolver suas próprias idéias em como melhorá-lo. Em um período posterior de sua vida Leibniz reconheceu que nesta época ele estava tentando achar a ordem por trás de verdades lógicas, o que, ainda que ele não reconhecesse como tal, eram as idéias por trás de provas matemáticas rigorosas.

Em 1661, aos 14 anos, Leibiniz entrou para a Universidade de Leipzig. Pode nos parecer que ele tenha entrado na Universidade excepcionalmente jovem, mas é justo dizer que, apesar de realmente jovem, havia outros na mesma faixa etária. Ele estudou Filosofia, matéria bem ensinada em Leipzig, e Matemática, não tão bem ensinada. Lá Leibniz estudou retórica, latim, greco e hebraico. Ele graduou-se bacharel em 1663 com a tese De Principio Individui (Sobre os Princípios do Indivíduo) que:

... enfatizava o valor existencial do indivíduo, que não deve ser explicado pela matéria simplesmente ou pela forma tão pouco, mas pelo seu completo ser.

Após graduar-se Leibniz foi a Jena, passar as férias de verão. Lá conheceu o professor de Matemática Erhard Weigel. Weigel era também um filósofo e com sua ajuda, Leibniz começou a entender a importância do método matemático de demonstração em assuntos como lógica e filosofia. Weigel acreditava que o número era o conceito fundamental do Universo e suas idéias tiveram considerável influência sobre Leibniz. Em outubro de 1663 Leibniz volta a Leipzig, recomeçando seus estudos em direção a um doutorado em legislação. Ele recebeu o grau de Mestre em Filosofia por uma dissertação que combinava aspectos de Filosofia e lei, estudando as relações entre estes assuntos com idéias matemáticas aprendidas com Weigel. Sua mãe morreu poucos dias após Leibniz apresentar sua dissertação.

Após obter o título de bacharel em leis, Leibniz trabalhou em sua habilitação em Filosofia. Seu trabalho foi publicado em 1666 como Dissertatio de arte combinatoria (Dissertação sobre a arte da combinatória). Neste trabalho Leibniz afirmava reduzir todo o raciocínio e descoberta a uma combinação de elementos básicos tais como números, letras, sons e cores.

Apesar de sua crescente reputação, foi-lhe recusado o grau de doutor em leis em Leipzig. Não é muito claro porque isto aconteceu. É provável que, como um dos mais jovens candidatos e tendo apenas doze professores em leis disponíveis, ele deveria esperar outro ano. Contudo, há também uma história que a esposa do encarregado pela Universidade persuadiu-o a argumentar contra Leibniz, por alguma razão obscura. Leibniz não estava preparado para aceitar qualquer tipo de atraso e foi imediatamente para a Universidade de Altdorf, onde recebeu o título de doutor em leis em fevereiro de 1667, por sua tese De Casibus Perplexis.

Leibniz recusou a promessa de uma cadeira em Altdorf porque tinha outros planos em mente. Ele trabalhou como secretário para a Sociedade Alquímica de Nuremberg por algum tempo tendo então encontrado o Barão Johann Christian von Boineburg. Em novembro de 1667 Leibniz estava vivendo em Frankfurt, empregado por Boineburg. No correr dos anos Leibniz envolveu-se em uma grande variedade de projetos diferentes (científicos, literários e políticos). Ele levou em frente sua carreira nas leis, trabalhando na corte de Mainz antes de 1670.

Um dos objetivos de longo prazo (a vida toda, talvez) era organizar todo o conhecimento humano. Certamente ele viu seu trabalho como legislador como parte deste ideal. Ainda com este intuito, tentou unificar os trabalhos das sociedades científicas, de forma a coordenar a pesquisa. Leibniz começou a estudar o movimento, e embora ele tivesse em mente o problema de explicar os resultados de Wren e Huyghens sobre colisões elásticas, ele começou com idéias abstratas de movimento.

Em 1671 ele publicou Hypothesis Physica Nova (Novas Hipóteses Físicas). Neste trabalho afirmou, como Kepler, que o movimento depende da ação de espíritos. Ele entrou em contato com Oldenburg, o secretário da Royal Society of London, e dedicou alguns de seus trabalhos para a Royal Society e para a Paris Academy. Leibniz também matinha contato com Carcavi, o bibliotecário real em Paris.

Leibniz desejava visitar Paris para fazer mais contatos científicos. Ele havia começado a desenvolver uma máquina calculadora que, ele imaginava, despertaria algum interesse. Ele criou um plano político para tentar persuadir a França a invadir o Egito. Em 1672 Leibniz foi a Paris com o patrocínio de Boineburg para tentar usar seu plano e dissuadir Luis XIV de atacar áreas da Alemanha. Seu primeiro objetivo em Paris era fazer contato com o governo Francês mas, enquanto esperava por esta oportunidade, Leibniz fez contato com matemáticos e filósofos, em particular Arnauld e Malebranche, discutindo com Arnauld diversos tópicos, particularmente a unificação da Igreja.

Em Paris Leibniz estudou Matemática e Física sob a tutela de Christiaan Huygens, começando em 1672. Seguindo seus conselhos, Leibniz leu o trabalho de Saint-Vincent sobre séries e fez algumas descobertas nesta área. Ainda no outono de 1672, o filho de Boineburg foi mandado a Paris para estudar sob a orientação de Leibniz, o que significava que seu suporte financeiro era seguro. Acompanhando o filho de Boineburg estava seu sobrinho em missão diplomática para tentar persuadir Luis XIV a criar uma comissão de paz. Boineburg morreu em 15 de dezembro mas Leibniz continuou sendo financiado por sua família.

Em janeiro de 1673 Leibniz e o sobrinho de Boineburg foram a Inglaterra tentar a mesma missão de paz, já que a francesa havia falhado. Leibniz visitou a Royal Society, e exibiu sua calculadora, ainda incompleta. Ele também falou com Hooke, Boyle e Pell. Quando expôs seus resultados a respeito de séries a Pell, descobriu que eles já existiam em um trabalho de Mouton. Leibniz não compareceu na reunião da Royal Society em 15 de fevereiro. Nela Hooke traçou alguns comentários desfavoráveis a respeito de sua máquina de calcular. Leibniz conclui que seu conhecimento de Matemática era menor do que ele gostaria que fosse e redobrou seus esforços.

A Royal Society of London aceitou Leibniz em suas fileiras em 19 de abril de 1673. Leibniz conheceu Ozanam e resolveu um de seus problemas. Também reencontrou Huygens, que deu-lhe uma lista de leitura, incluindo trabalhos de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes e Sluze. Ele começou a estudar a geometria dos infinitesimais e escreveu a Oldenburg na Royal Society em 1674. Oldenburg respondeu que Newton e Gregory haviam chegado a métodos mais gerais. Leibniz não estava, contudo, com suas melhores relações com a Royal Society, já que havia prometido terminar sua máquina calculadora e não o fizera. Tampouco sabia Oldenburg que Leibniz havia transformado-se de um matemático comum em um gênio criativo. Em 1675 chegou a Paris Tschirnhaus, que acabou por tornar-se amigo íntimo de Leibniz. Esta parceria foi matematicamente lucrativa para ambos.

Foi durante este período em Paris que Leibniz desenvolveu as noções básicas de sua versão do Cálculo. Em 1673 ele ainda estava batalhando para desenvolver uma boa notação para seu Cálculo e suas contas eram confusas. Em 21 de novembro de 1675 ele escreveu um manuscrito usando a notação  f(x) dx pela primeira vez. No mesmo manuscrito a regra para o produto da diferenciação é apresentada. No outono de 1676 Leibniz descobriu a regra familiar d(xⁿ) = n x^n-1 dx para n inteiro ou fracionário.

Newton escreveu uma carta a Leibniz, mas ela levou algum tempo para chegar. A carta listava muitos dos resultados de Newton, mas não descrevia os métodos. Leibniz respondeu imediatamente a Newton, que sem perceber que sua carta havia atrasado muito, levou seis semanas para responder. Certamente uma das conseqüências da carta de Newton foi alertar Leibniz da necessidade de publicar seus métodos.

Newton escreveu uma segunda carta a Leibniz em 24 de outubro de 1676, que só chegou a ele em junho de 1677, pois Leibniz havia se mudado para Hanover. Nesta segunda carta, embora polida, Newton deixava claro sua crença de que Leibniz havia roubado seus resultados. Na resposta, Leibniz deu alguns detalhes sobre os princípios de seu Cálculo, incluindo a regra para a diferenciação de funções compostas.

Newton afirmou, justamente, que

... nem um único problema previamente sem solução foi resolvido ...

Mas a abordagem de Leibniz mostrava que o formalismo era vital no desenvolvimento posterior do Cálculo. Leibniz nunca pensou na derivada como um limite. Isto não aparece até o trabalho de d'Alembert.

Leibniz desejava permanecer em Paris, na Academia de Ciências, mas já considerava-se que havia um número suficiente de estrangeiros, e como conseqüência disso, nenhum convite lhe foi feito. Relutantemente Leibniz aceitou uma posição de bibliotecário na corte de Hanover, onde viveria o resto de sua vida (exceto pelas muitas viagens que fez).

Seus trabalhos como bibliotecário eram "mundanos", mas ele desenvolveu uma série de outros projetos pessoais. Por exemplo, um dos maiores começou em 1678-79 e envolvia a drenagem de água das minas nas montanhas de Harz. Sua idéia era utilizar a força dos ventos e da água para operar bombas. Ele projetou diversos tipos de bombas e engrenagens mas todos terminaram em fracasso. Leibniz acreditava que isto era devido ao medo dos trabalhadores de perderem seus empregos para o progresso.

Uma das grandes conquistas de Leibniz em Matemática foi o desenvolvimento do sistema binário de aritmética. Ele aperfeiçoou seu sistema por volta de 1679, mas não publicou nada até 1701, quando ele enviou o trabalho Essay d'une nouvelle science des nombres à Academia de Paris para marcar sua entrada na Academia. Outra grande conquista de Leibniz foi seu trabalho em determinantes, resultado de sua pesquisa em sistemas de equações lineares. Embora ele nunca tenha publicado este trabalho, ele desenvolveu diversas abordagens para o problema com diversas notações diferentes, tentando encontrar qual era mais útil. Um trabalho não publicado datado de 22 de janeiro de 1684 contém resultados muito satisfatórios.

Leibniz continuou a aperfeiçoar seu sistema metafísico na década de 1680, tentando reduzir o raciocínio a uma álgebra do pensamento. Leibniz publicou Meditationes de Cognitione, Veritate et Ideis (Reflexões sobre Conhecimento, Verdade e Idéias) que esclarecia sua teoria sobre o conhecimento. Em fevereiro de 1686 Leibniz escreveu seu Discours de métaphysique (Tratado sobre Metafísica).

Em 1684 Leibniz publicou detalhes de seu Cálculo Diferencial em Nova Methodus pro Maximis et Minimis, item que Tangentibus... em Acta Eruditorum, um jornal estabelecido em Leipzig apenas há dois anos. O trabalho continha a notação já familiar notação "d", as regras para o cálculo da derivadas de potências, produtos e quocientes. Contudo não continha demonstrações e Jacob Bernoulli chamou aquilo de enigma e não de explicação.

Em 1686 Leibniz publicou, na Acta Eruditorum, um trabalho sobre o Cálculo Integral com a primeira aparição impressa da notação .

Os Principia de Newton apareceriam no próximo ano. O método das fluxões de Newton foi escrito em 1671, mas Newton falhou em tê-lo publicado. Este trabalho ficaria desconhecido até 1736, quando John Colson produziu uma versão traduzida para o Inglês. Este atraso na publicação gerou a disputa entre Newton e Leibniz.

Em 1710 Leibniz publicou Théodicée, um trabalho filosófico, onde tentava explicar o problema do mal em um mundo criado por um Deus bom. Leibniz afirmava que o Universo tinha de ser imperfeito, para poder ser distinto de Deus. Também afirmava que era o melhor Universo possível, sem ser perfeito. Em 1714 Leibniz escreveu Monadologiaque sintetizava as idéias de Théodicée.

Muitas das atividades matemática de Leibniz em seus últimos anos envolveram a disputa sobre a invenção do Cálculo. Em 1711 ele leu um trabalho de Keill na Transactions of the Royal Society of London que acusava-o de plágio. Leibniz exigiu uma retratação dizendo que ele nunca havia ouvido falar do cálculo de fluxões até ter lido os trabalhos de Wallis. Keill respondeu que as cartas de Newton davam todas as indicações necessárias para que Leibniz chegasse aos seus resultados.

Leibniz escreveu de novo a Royal Society pedindo a eles que corrigissem o mal produzido pelas afirmações de Keill. Em resposta a esta carta, a Royal Society indicou um comitê para avaliar a situação. Naturalmente a opinião deste comitê era completamente desbalanceada, já que Leibniz nunca foi chamado a dar sua versão dos fatos e o relator era o próprio Newton!

A disputa não arrefeceu nem quando Leibniz escreveu a Newton detalhando seus resultados e descobertas sobre o Cálculo Diferencial. De 1715 até a sua morte, Leibniz correspondeu-se com Samuel Clarke, patrocinador de Newton, sobre tempo, espaço, livre arbítrio, atração gravitacional através do vácuo, entre outros tópicos.

Esta página foi baseada, com a permissão dos autores, no The MacTutor History of Mathematics archive, página de história da Matemática.

Pierre de Fermat

 17 de agosto de 1601, em Beaumont-de-Lomagne, França

 12 de janeiro de 1665, em Castres, França

O pai de Pierre Fermat era um próspero comerciante de couro e segundo cônsul de Beaumont-de-Lomagne. Fermat tinha um irmão e duas irmãs, e foi quase certamente criado em sua cidade de nascimento. Embora haja pouca evidência acerca de sua educação, é quase certo que tenha estudado no monastério Franciscano local.

Ele esteve na Universidade de Toulouse antes de se mudar para Bordeaux na segunda metade dos anos 1620. Em Bordeaux ele começou suas primeiras pesquisas matemáticas sérias e em 1629 ele deu uma cópia de sua restauração do trabalho de Apolônio - Planos - a um dos matemáticos da instituição. Certamente em Bordeaux ele esteve em contato com Beaugrand e durante este período ele produziu importantes trabalhos sobre máximos e mínimos, dados a Etienne d'Espagnet, que claramente compartilhava com Fermat o interesse pela Matemática.

De Bordeaux, Fermat foi para Orléans, onde estudou direito na Universidade. Ele formou-se advogado civil e comprou um escritório no parlamento, em Toulouse. Então, em 1631 Fermat era advogado e oficial do governo em Toulouse e por causa de seu escritório, mudou seu nome para Pierre de Fermat.

Pelo resto de sua vida ele viveu em Toulouse, mas além de trabalhar lá, também trabalhou em sua cidade natal e em Castres. Sua carreira foi meteórica, em parte por tempo de serviço e idade, em parte porque a praga levou a maioria dos mais velhos. Ele mesmo foi atingido pela doença e ficou tão mal que sua morte foi prematuramente anunciada.

Naturalmente Fermat estava preocupado com Matemática, senão não estaria nesta página! Ele manteve sua amizade com Beaugrand mesmo depois de mudar-se para Toulouse, mas lá ele encontrou um novo amigo em Matemática, Carcavi. Fermat conheceu Carcavi por força de profissão, pois eram colegas como advogados em Toulouse. Mas também compartilhavam o amor pela Matemática e Fermat contou a Carcavi sobre suas descobertas.

Em 1636 Carcavi foi a Paris na condição de bibliotecário real e fez contato com Mersenne e seu grupo. O interesse de Mersenne foi cultivado pelas descrições de Carcavi sobre o trabalho de Fermat acerca de corpos em queda. Carcavi escreveu a Fermat, que respondeu em 26 de abril de 1636, e, além de contar a Messenne sobre erros que ele acreditava ter encontrado nos trabalhos de Galileu sobre queda livre, ele também contou a Mersenne sobre seus trabalhos em espirais e sobre a restauração do Planos. Seu trabalho em espirais foi motivado pela consideração do caminho descrito por corpos em queda livre e ele usou métodos generalisados a partir de Sobre espirais, de Arquimedes. Fermat escreveu:

Eu também encontrei diversos tipos de análises para problemas vários, tanto numéricos como geométricos, nos quais a análise de Viète não seria suficiente. Eu repartirei tudo com você quando você o desejar e o faço sem ambição, da qual eu sou mais livre e estou mais distante do que qualquer homem no mundo.

É irônico que este contato inicial com Fermat e a comunidade científica tenha sido através de seu estudo sobre queda livre, já que Fermat tinha pouco interesse em aplicações físicas da Matemática. Mesmo com seus resultados em queda livre ele estava muito mais interessado em provar teoremas sobre Geometria do que em sua relação com o mundo real. Nesta primeira carta contudo, havia dois problemas sobre máximos que Fermat pediu a Mersenne que fossem passados aos matemáticos de Paris. Aliás, este era o estilo de Fermat: desafiar outros a obter resultados que ele já havia obtido.

Roberval e Mersenne acharam que os problemas propostos por Fermat nesta primeira (e em subseqüentes) carta eram extremamente difíceis e usualmente insolúveis usando as técnicas correntes. Eles pediram a Fermat para divulgar seus métodos e Fermat mandou seu Método para determinar Máximos e Mínimos e Tangentes a Linhas Curvas, sua restauração de Planos e sua aproximação algébrica à Geometria Introdução aos Planos e Sólidos aos matemáticos de Paris.

Sua reputação como um dos maiores matemáticos do mundo veio rapidamente, mas tentativas de publicar seus trabalhos falhavam, principalmente porque Fermat de fato nunca quis por seus trabalhos em uma forma apresentável. Contudo, alguns de seus métodos foram publicados, como por exemplo no trabalho de Hérigone,Cursus mathematicus, que continha um suplemento com os métodos de Fermat para encontrar máximos e mínimos.

Esta sua maneira de desafiar outros matemáticos logo contribuiu para o acúmulo de inimizades. Uma dessas controvérsias envolveu Descartes. Beaugrand enviou para Fermat o trabalho de Descartes intitulado La Dioptriquepara avaliação, mas Fermat deu pouca atenção, dado que estava no meio de uma correspondência com Roberval e Pascal sobre métodos de integração e centros de massa. Diante da insistência de Mersenne, Fermat emitiu a seguinte opinião sobre La Dioptrique:

tateando nas sombras.

Ele afirmava que Descartes não deduziu corretamente sua lei de refração, já que era inerente às suas hipóteses. Dizer que Descartes ficou desagradado é um eufemismo. Rapidamente Descartes encontrou uma razão para ficar ainda mais furioso, ao perceber que o trabalho de Fermat sobre máximos, mínimos e tangentes poderia ofuscar aquele que considerava seu trabalho mais importante, La Geómétrie.

Descartes atacou os métodos de Fermat para máximos, mínimos e tangentes. Roberval e Etienne Pascal envolveram-se na discussão e eventualmente também Desargues, a quem Descartes indicou como árbitro. Fermat mostrou-se correto e eventualmente Descartes admitiu isto escrevendo:

... vendo o último método que você usa para encontrar tangentes à linhas curvas, posso avaliá-lo de uma única maneira, afirmando que é de fato muito bom e que, se você o tivesse explicado deste jeito no princípio, eu não teria contradito em hipótese alguma.

Várias razões contribuíram para que entre 1643 e 1654 Fermat ficasse fora de contato com seus colegas em Paris. Primeiramente, a pressão do trabalho, que o impedia de dedicar tempo à Matemática. Segundo, uma guerra civil em 1648 que afetou Toulouse. Finalmente, a praga em 1651, que quase levou Fermat à morte. Contudo, foi neste período que Fermat trabalhou em teoria dos números.

Fermat é melhor lembrado quando associado a seu trabalho em teoria dos números, em particular pelo Último Teorema de Fermat. Este teorema diz que

xⁿ + yⁿ = zⁿ

não tem solução inteira não-nula para x, y e z quando n > 2. Fermat escreveu, na margem da tradução de Bachet para Aritmética Diofantina

"Descobri uma demonstração realmente memorável, mas esta margem é muito pequena para contê-la."

Atualmente acredita-se que a dita "prova" de Fermat estava errada, embora não se possa ter certeza completa. Em 1993 o matemático Inglês Andrew Wiles disse ter provado o teorema, mas, após uma revisão cuidadosa, no final de 1994 sua prova foi aceita.

Tentativas mal-sucedidas de provar este teorema nos últimos 300 anos, levaram a várias descobertas matemáticas, como por exemplo a teoria dos anéis comutativos.

Fermat voltou a se corresponder com os matemáticos franceses em 1654, quanto Blaise Pascal - filho de Etienne Pascal - escreveu-lhe para confirmar suas idéias sobre probabilidade. A curta correspondência entre os dois serviu de fundação para a teoria das probabilidades, e por causa disso eles são atualmente considerados fundadores do assunto.

Neste mesmo período, um dos alunos de Descartes estava organizando sua correspondência para publicação e pediu ajuda a Fermat a respeito de sua correspondência com Descartes. Isto fez com que Fermat repensasse os argumentos por ele usados 20 anos antes, sobre suas objeções à óptica de Descartes. Em particular, ele estava insatisfeito com as descrições de Descartes para a refração da luz e então aproveitou a deixa e estabeleceu um princípio que de fato resultou na lei dos senos para a refração que Snell e Descartes propuseram. Fermat deduziu esta lei a partir de um princípio fundamental por ele proposto, o de que a luz sempre percorre o menor caminho possível. O princípio de Fermat, hoje uma das mais básicas leis da óptica, não foi muito bem recebido pelos matemáticos da época.

Fermat também deixou grandes contribuições em Teoria dos Números, que na época não era muito bem vista. Por causa disso, e também por sua desorganização com os escritos, suas idéias sobre Teoria de Números acabaram não sendo discutidas com outros matemáticos da época.

Esta página foi baseada, com a permissão dos autores, no The MacTutor History of Mathematics archive, página de história da Matemática.

RHOMBICUBOCTAHEDRON

 POR ARQUIMEDES 

Em geometria, o  rhombicuboctahedron ou  pequeno rhombicuboctahedron , é um sólido de Arquimedes com oito caras triangulares e dezoito quadrados. Há 24 vértices idênticos, com um triângulo e três quadrados em cada reunião.(Note-se que seis das praças somente vértices em ação com os triângulos, enquanto o outro 12 partes uma vantagem.) O poliedro tem simetria octaédrica, como o cubo e octaedro. Sua dupla é chamada de icositetrahedron deltoidal ou trapezoidal icositetrahedron, embora seus rostos não são realmente verdadeiros trapézios.

O nome  rhombicuboctahedron  refere-se ao fato de que doze das faces quadradas ficam no mesmo plano que as doze faces do dodecaedro rômbico que é dual ao cuboctahedron.  Grande rhombicuboctahedron  é um nome alternativo para um cuboctahedron truncado, cujas faces são paralelos aos da (pequena) rhombicuboctahedron. No livro "De Divina Proportione", esta forma foi dado o nome latino "Vigintisexbasium Planum vácuo", que significa sólido regular com vinte e seis rostos.

Ele também pode ser chamado de um  cubo expandido  ou  cubo cantellated  ou um  octaedro cantellated  de operações de truncamento do poliedro uniforme.

Relações geométricas

Existem três pares de planos paralelos que se intersectam a cada rhombicuboctahedron em um octógono regular. Os rhombicuboctahedron podem ser divididos ao longo de qualquer um deles para obter um prisma octogonal com faces regulares e dois poliedros adicional chamado cúpulas praça, que contam entre os sólidos Johnson; é, assim, um orthobicupola quadrado alongado . Estas peças podem ser remontada para dar um novo sólido chamado gyrobicupola quadrado alongado ou  pseudorhombicuboctahedron , com a simetria de um antiprisma quadrado. Neste os vértices são localmente os mesmos que os de um rhombicuboctahedron, com um triângulo e os três quadrados de reunião para cada, mas não são idênticos no que diz respeito a toda a poliedro, uma vez que alguns estão mais próximos do eixo de simetria do que outros.

Rhombicuboctahedron

Pseudorhombicuboctahedron

Há distorções do rhombicuboctahedron que, apesar de alguns dos rostos não são polígonos regulares, ainda estão vértice uniforme. Alguns destes podem ser feitas, tendo um cubo ou octaedro e cortar as bordas, em seguida, o corte dos cantos, de modo que o poliedro resultante tem seis faces rectangulares quadrados e doze. Estes têm simetria octaédrica e formam uma série contínua entre o cubo eo octaedro, análogas às distorções do rombicosidodecaedro ou as distorções tetraédricos da cuboctahedron. No entanto, o rhombicuboctahedron também tem um segundo conjunto de distorções, com seis faces retangulares e dezesseis trapezoidais, que não têm simetria octaédrica mas sim T h  simetria, por isso eles são invariantes sob as mesmas rotações como o tetraedro, mas diferentes reflexões.

As linhas ao longo das quais um Cubo de Rubik pode ser transformado são, projetadas em uma esfera, semelhante, topologicamente idênticas, às bordas de um Rhombicuboctahedron. De fato, as variantes usando o mecanismo de Cubo de Rubik foi produzido, que se assemelham a rhombicuboctahedron.

O rhombicuboctahedron é utilizado em três de preenchimento de espaço pavimentações uniformes: o favo de mel cantellated cúbico, o favo de mel cúbico runcitruncated, e o favo de mel cúbico alternava runcinated.

Projeções ortogonais

O  rhombicuboctahedron  tem seis projecções especiais ortogonais, centrado, em um vértice, em dois tipos de arestas e três tipos de faces: triângulos, e dois quadrados. Os dois últimos correspondem ao B 2  e A 2  aviões Coxeter.

Projeções ortogonais

Centrado por	Vértice	Borda 3-4	Borda 4-4	Rosto Square-1	Rosto Quadrado-2	Rosto Triângulo
Imagem
Projetiva simetria	[2]	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]

Simetria Pyritohedral

Uma forma de meia simetria do rhombicuboctahedron,  , existe com simetria pyritohedral, [4,3 + ], (3 * 2) como Coxeter diagrama  , Schläfli símbolo s 2 {3,4}, e pode ser chamado de um  octaedro achatado CANTIC . Esta forma pode ser visualizada por coloração alternadamente as extremidades dos 6 quadrados. Estes quadrados podem então ser distorcida em rectângulos, enquanto os 8 triângulos permanecem equilátero. Os 12 diagonais rostos quadrados ficará trapézios isósceles. No limite, os rectângulos podem ser reduzidos para as bordas e os trapézios tornar triângulos, e um icosaedro é formado, por um  octaedro achatado  construção,  , s {3,4}.

Geometria uniforme

Geometria não uniforme

Geometria não uniforme 2

No limite, um icosaedro

Composto de dois icosahedra

Número Estranho

NÚMERO ESTRANHO

Em  teoria dos números , um  número estranho  é um  número natural  que é  abundante  , mas não  semiperfect . Em outras palavras, a soma das adequados  divisores  (divisores incluindo 1, mas não em si) do número é maior que o número, mas sem  subconjunto  desses divisores soma-se ao número de si.

Exemplos

O menor número estranho é 70 Seus divisores próprios são 1, 2, 5, 7, 10, 14 e 35.; estes soma a 74, mas nenhum subconjunto dessas somas para 70 O número 12, por exemplo, é abundante, mas.  não  estranho, pois os divisores próprios de 12 são 1, 2, 3, 4 e 6, que soma a 16; mas 2 +4 +6 = 12.

Os primeiros números são estranhos

70 ,  836 , 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, ... (seqüência  A006037  em  OEIS ).

Propriedades 

Foi demonstrado que existe um número infinito de números estranhos; na verdade, a sequência de números estranhos tem positiva  densidade assintótica .

Não se sabe se existem números estranhos ímpares; se fazer qualquer, que deve ser maior do que 2 32  ≈ 4 × 10 9 .

Sidney Kravitz mostrou que para  k  um inteiro positivo,  Q  um  nobre  superior a 2 k , e

;

Também nobre e superior a 2, k , então

é um número estranho. Com esta fórmula, ele encontrou um grande número estranho

.

Se  n  é estranho, e  p  é um primo maior do que a soma dos divisores σ ( n ), então  pn  também é estranho.

Por Arquimedes

http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx